Xét \(M\left(0;m\right)\in Oy\), đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=kx+m\)

d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x+1}{x-1}=kx+m\\\frac{-2}{\left(x-1\right)^2}=k\end{cases}\) có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :

\(\frac{x+1}{x-1}=\frac{-2x}{\left(x-1\right)^2}+m\Leftrightarrow\left(m-1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+m+1=0\) (*)

Để từ M chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số đã cho \(\Leftrightarrow\) (*) có đúng 1 nghiệm. 

Do (*) không có nghiêm x = 1 nên (*) có đúng 1 nghiệm

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=1\\\Delta'=2m+2=0\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=1\\m=-1\end{array}\right.\)

Vậy có 2 điểm \(M_1\left(0;1\right);M_2\left(0;-1\right)\) thỏa mãn bài toán

Đáp án D

Đáp án D

Đáp án D.

y ' = 3 x 2 − 12 x + 9

Gọi M x 0 ; x 0 3 − 6 x 0 2 + 9 x 0 − 1  là một điểm bất kì thuộc (C)  . Tiếp tuyến tại M:

  y = 3 x 0 2 − 12 x 0 + 9 x − x 0 + x 0 3 − 6 x 0 2 + 9 x 0 − 1

⇔ y = 3 x 0 2 − 12 x 0 + 9 x − 2 x 0 3 + 6 x 0 2 − 1

Gọi A a ; a − 1  là một điểm bất kì thuộc đường thẳng  y = x − 1   .

Tiếp tuyến tại M đi qua   A ⇔ 3 x 0 2 − 12 x 0 + 9 a − 2 x 0 3 + 6 x 0 2 − 1 = a − 1

⇔ 3 x 0 2 − 12 x 0 + 8 a = 2 x 0 3 − 6 x 0 2 (*).

Từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến  C ⇔ *    có hai nghiệm  phân biệt.

Ta có  

3 x 0 2 − 12 x 0 + 8 = 0 ⇔ x 0 = 6 ± 2 3 3

Dễ thấy x 0 = 6 ± 2 3 3  không thỏa mãn .

Với   x 0 ≠ 6 ± 2 3 3 thì  * ⇔ a = 2 x 0 3 − 6 x 0 2 3 x 0 2 − 12 x 0 + 8 .

Xét hàm số f x = 2 x 3 − 6 x 2 3 x 2 − 12 x + 8 . Ta có f ' x = 6 x 4 − 8 x 3 + 20 x 2 − 16 x 3 x 2 − 12 x + 8 2 .

Bảng biến thiên của :

Vậy để (*) có 2 nghiệm phân biệt thì  a ∈ 0 ; 4   . Suy ra tập  T = 0 ; − 1 , 4 ; 3

Do đó tổng tung độ các điểm thuộc T bằng 2.

Xét điểm \(M\left(m;0\right)\in Ox\).

Đường thẳng  d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=k\left(x-m\right)\)

d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}-x^3+3x+2=k\left(x-m\right)\\-3x^2+3=k\end{cases}\) có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :

     \(3\left(x^2-1\right)\left(x-m\right)-\left(x^3-3x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(3x^2-3\left(1+m\right)x+3m\right)-\left(x+1\right)\left(x^2-x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left[2x^2-\left(3m+2\right)x+3m+2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-1\\2x^2-\left(3x+2\right)x+3m+2=0\left(a\right)\end{array}\right.\) 

Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến thì (a) phải có 2 nghiệm phân biệt khác -1

\(\begin{cases}\Delta=\left(3m+2\right)\left(3m-6\right)>0\\3m+3\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m< -\frac{2}{3}Vm>2\\m\ne-1\end{cases}\) (*)

Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của (a), khi đó hệ số góc của 3 tiếp tuyến là :

\(k_1=-3x_1^2+3;k_2=-3x_2^2+3;k_3=0\)

Để 2 trong 3 tiếp tuyến này vuông góc với nhau \(\Leftrightarrow k_1.k_2=-1\)

\(\Leftrightarrow9\left(x^2_1-1\right)\left(x^2_2-1\right)=1\Leftrightarrow9x^2_1x^2_2-9\left(x_1+x_2\right)^2+18x_1x_2+8=0\left(i\right)\)

Mặt khác, theo định lý Viet, \(x_1+x_2=\frac{3m+2}{2};x_1x_2=\frac{3m+2}{2};\)

Từ đó (i) \(\Leftrightarrow9\left(3m+2\right)+8=0\Leftrightarrow m=-\frac{26}{27}\) thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy \(M\left(-\frac{26}{27};0\right)\) là điểm cần tìm

Đáp án B.

Gọi   A 0 ; a là điểm trên trục tung thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến đi qua A.

Lúc này ta có hệ  

x 4 − x 2 + 1 = k x − 0 + a 4 x 3 − 2 x = k ⇒ x 4 − x 2 + 1 = 4 x 3 − 2 x x + a

  ⇔ 3 x 4 − x 2 + a − 1 = 0 (*).

Để từ A kẻ được ba tiếp tuyến khác nhau trên đồ thị hàm số   y = x 4 − x 2 + 1 thì phương trình (*) phải có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương ⇔ a = 1 . Vậy có duy nhất một điểm  trên trục tung thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án C

Phương pháp giải: Lập phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k và đi qua điểm thuộc Oy, sử dụng điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc tìm tham số m

Đáp án C

Chọn đáp án C

Tập xác định: D = R.

Gọi ∆  là đường thẳng đi qua M 0 ;   m và có hệ số góc là k, phương trình đường thẳng ∆ : y = k x + m .

Đường thẳng  ∆  là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm :

Hệ phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

Xét hàm số f x = x + 2 2 x 2 + x + 1  trên R.

Đạo hàm

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình (*) có nghiệm

⇔ - 1 2 < m ≤ - 1 hay m ∈ ( - 1 2 ; 1 ] .